Золотое сечение - гармоническая пропорция
Спор о том, должна или не должна наука вторгаться в заповедные области искусства, идет давно. И спор этот носит явно схоластический характер. Во все эпохи процветания искусство вступало в союз с наукой. Художники-мыслители, теоретики и педагоги, размышлявшие над проблемами обучения молодых, всегда приходили к выводу, что без науки искусство развиваться и процветать не может. Художник и педагог Н. П. Крымов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить — глядите и любуйтесь. По-моему, это не так. Искусство объяснимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично... Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха» 1. В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика.
Известный французский архитектор и теоретик архитектуры XIX в. Виолле-ле-Дюк считал, что форма, которую невозможно объяснить, никогда не будет красивой. На дверях Сикионской школы рисунка в Древней Греции было написано: «Сюда не допускаются люди, не знающие геометрии». Не следует художникам бояться математики, она вовне и внутри нас. За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возникает чувство. Эту работу мозг производит мгновенно, потому мы ее не замечаем и не осознаем и нам кажется, что чувство возникает сразу.
Прежде чем определить золотое сечение, необходимо ознакомиться с понятием пропорции. В математике пропорция (лат. proportio) — это равенство между двумя отношениями четырех величин: а : Ь = с : d. Далее, для примера обратимся к отрезку прямой (рис. 1). Отрезок АВ можно разделить на две равные части (/). Это будет соотношение равных величин — АВ : АС = АВ : ВС. Эту же прямую (2, 3) можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. Отношение малого отрезка к большому или меньшего к большему есть, а соотношения (пропорции) нет. И, наконец, прямую АВ(4) можно разделить по золотому сечению, когда АВ : АС, как АС : ВС. Это и есть золотое деление или деление в крайнем и среднем отношении.
Рис. 1. Деление отрезка прямой на равные части и по золотому сечению: 1 — АВ:АС=АВ:ВС (образуется пропорция); 2, 3 — пропорция не образуется; 4—АВ:АС=АС:ВС или ВС:АС=АС:АВ (золотая пропорция)
Из вышеизложенного следует вывод, что золотое сечение — это такое пропорциональное гармоническое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему, т. е. a: b = b : с или с \Ь = b : а (рис. 2). Определение — деление в крайнем и среднем отношении — становится более понятным, если мы выразим его геометрически (рис. 3), а именно а : b как b : с.
Рис. 2. Геометрическое и алгебраическое выражение золотой пропорции: а:в=в:с или с:в=в:а
Из рис. 3 понятно, почему астроном Иоганн Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя. «Устроена она так, — писал И. Кеплер, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности» 2. Как видим, построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). В последнем случае необходимо от большего отрезка вычесть меньший — получим еще меньший: b — a = d, и т. д. Практическое знакомство с золотым сечением обычно начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции геометрическим способом (рис.4).
Рис. 3. Среднее пропорциональное или деление отрезка в крайнем и среднем отношении:d — b — а; с=а+b
Рис. 4. Геометрическое деление отрезка прямой по золотому сечению (разработано А. Дюрером): ВС=0,5 АВ; CD=ВС
Рис. 5. Определение линии золотого сечения на картине геометрическим способом: ВС=0,5 АВ
Рис. 6. Применение золотого сечения в построении картины И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года»
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка f делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Арифметически отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью. АЕ = 0,618..., если АВ принять за единицу, ff = 0,382.... В практике применяется округление: 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая — 38 частям.
Рис. 7. Линии золотого сечения и диагонали на картине
При переносе геометрического способа деления на картину или эскиз поступают так: половину длины картины или эскиза откладывают на высоту или продолжение высоты, если эскиз узкого формата. Полученную точку С соединяют с левым нижним углом картины и т. д. (рис. 5). Линия золотого сечения в левой части картины будет находиться на таком же расстоянии от левого края, как и в правой от правого (показано пунктиром). Указанные выше две пропорции золотого деления — равные величины и неравные, при этом пропорциональные, широко используются в искусстве.
Фигура А. С. Пушкина в картине И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 г.» помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины (рис. 6). Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы А. С. Пушкина до головы Г. Р. Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Их образуют стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.
Если необходимо найти линию золотого сечения на картине или эскизе по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины производить нет необходимости. Достаточно провести диагонали картины.& Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения (рис. 7). Эти линии могут понадобиться при построении пейзажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».
Из пропорции золотого сечения вытекает, что если высоту или ширину картины разделить на 100 частей, то больший отрезок золотой пропорции равен 62, а меньший — 38 частям. Эти три величины позволяют нам построить нисходящий ряд отрезков золотой пропорции: 100 - 62 = 38; 62 - 38 = 24; 38 - 24=14; 24 - 14=10.
100, 62, 38, 24, 14, 10 — это ряд величин золотой пропорции, выраженных арифметически. Так же находят отрезки золотой пропорции и на картине, если линия золотого сечения по вертикали уже проведена (рис. 7). Переносим линию золотого сечения в левый край картины. Расстояние между линиями золотого сечения в середине картины равно 24 частям. Отрезок, равный 24 частям, откладываем на отрезок, равный 38 частям, и получаем остаток, равный 14 частям. Последний отрезок накладываем на отрезок, равный 24 частям, и получаем отрезок, равный 10 частям. Все отрезки нисходящего ряда золотой пропорции для данной картины мы получили. Ту же операцию проводим и с высотой картины. Полученные отрезки переносим на полоску плотной бумаги или картона — для ширины с лицевой стороны и для высоты с оборотной. Этот простейший инструмент назовем пропорциональной линейкой. Такая пропорциональная линейка пригодна только для данного эскиза или эскиза такого же размера. Изготовление ее занимает несколько минут, но в дальнейшем облегчит работу над эскизом в поисках интервалов между фигурами или группами фигур, между предметами, поможет найти их размеры и, в конечном итоге, гармонизовать линейное построение картины.
Фигура А. С. Пушкина в картине Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна (рис. 8). Но и все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерки — 14 частям, расстояние от этажерки до печи также равно 14 частям и т. д.
Рис. 8. Пропорции золотого деления в линейном построении картины Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском»
Такие же величины есть и в картине И. Е. Репина (см. рис. 6): от левого края картины до головы Державина — 24 части; от стола до носка сапога правой ноги Пушкина — 24 части. Такое же расстояние от головы Пушкина до головы военного, с восторгом слушающего чтение поэта (его голова находится на второй линии золотого сечения в таком же повороте, как и голова Пушкина). От голов Пушкина до головы молодой женщины в правой части картины, с умилением слушающей декламацию, тоже — 24 части, а от ее головы до npaвого края картины — 10 частей и т. д.
Повторение равных величин, чередование paвних и неравных величин в пропорциях золотое сечения создает в картине определенный ритмический строй, вызывающий у зрителя то или иное настроение и втягивающий его в рассматривание изображения. Порядок и последовательность этого рассматривания предопределены художником.
Рис. 9. Ряд отрезков золотой пропорции
Достоинство пропорции золотого сечения заключено в том, что, раз поделив отрезок прямой или сторону картины геометрическим способом, получают отрезки любого уменьшения. В практической же работе художника достаточно величин, соответствующих числовым значениям 62, 38, 24, 14 и 10 (рис. 9).
Отрезки золотой пропорции нисходящего ряда при известной величине отрезка АВ или ширине эскиза, картины, репродукции — если мы желаем их проанализировать, получают путем вычисления. Например, ширина эскиза равна 14 см. Одна сотая часть от 14 составит 0,14 см. 0,14 умножаем на 62 и получаем больший отрезок золотой пропорции, равный 8,68 см. Следовательно, 100 частей = 14,00; 62 части = 8,68; 38 частей = 5,32; 24 части = 3,36; 14 частей = 1,96; 10 частей = 1,4 см.
Откладываем эти значения на пропорциональной линейке, как показано на рис. 7, и дальнейшую работу над эскизом проводим с помощью этой линейки. Интуитивное сочетается с математикой и расчетом.
Случается так, что размер эскиза равен 10 см (100 мм) по ширине и высоте (квадрат). Тогда золотая пропорция на эскизе или пропорциональной линейке откладывается по линейке: 62, 38 и 24 мм. При размере картины 100x100 см поступают аналогичным образом. Если же одна из сторон картины равна 100 см, то, отложив на ней с помощью линейки отрезки золотой пропорции, проводим линии золотого сечения. Пересекаем их диагоналями и получаем данные для нахождения отрезков золотого сечения для другой стороны картины, не равной 100 см, как показано на рис. 7. Когда эскиз не очень большой, применяют метод нахождения золотых пропорций на одной из его сторон при помощи проведения вспомогательной линии размером в 10 см (100 мм) под произвольным углом к разделяемой линии (рис. 10). На вспомогательной линии, которую проводят в плоскости эскиза или за его пределами, откладывают значения в миллиметрах — 62, 38, 24, 14 и 10.
Рис. 10. Вспомогательная линия длиной в 100 мм (10 см) для нахождения отрезков золотой пропорции на эскизе малого размера
Рис. 11. Способы нахождения отрезков золотой пропорции по методу «от квадрата»: а — квадрат; б — прямоугольник золотого сечения; в — получение точек для проведения линий золотого сечения по горизонтали; г — построение эскиза любого формата
Крайняя точка вспомогательной линии соединяется с краем эскиза. Остальные линии проводятся параллельно первой. Все остальное построение проводится, как показано на рис. 7. Этот метод предложен художником В. Скубаком. Этот же метод применяют и на небольшой картине, когда вспомогательная линия в 100 см располагается на ее поверхности.
Если размер эскиза не задан, его построение начинают с квадрата (рис. 11, а). Разделив нижнюю сторону квадрата на две равные части и проведя линию от полученной точки в правый верхний угол квадрата, принимаем эту линию за радиус и описываем дугу до пересечения с продолжением нижней стороны квадрата. Из полученной точки восставляем перпендикуляр до пересечения его с продолжением верхней стороны квадрата. В результате такого построения получаем прямоугольник золотого сечения, или золотой прямоугольник (рис. 11, б).
Если ширину такого прямоугольника принять за 100 частей, то его высота равна 62 частям. Линия золотого сечения по вертикали определится сама собой. Далее проводим диагонали, получаем точки для проведения линий золотого сечения по горизонталям (рис. 11, в). На основании золотого прямоугольника производят построение эскиза любого формата, вытянутого по горизонтали или вертикали (рис. 11, г).
В русской Академии художеств знали о законе золотого сечения. Этому есть письменные свидетельства. В книге «Далекое — близкое» И. Е. Репин описывает встречу знаменитого критика В. В. Стасова с учениками Академии художеств. На встрече присутствовали, кроме Репина и Стасова, М. М. Антокольский, Г. И. Семирадский, К. А. Савицкий и др. Разговор шел о новом реалистическом искусстве и устаревшем академизме.
Илья Ефимович отмечает, что Семирадский щеголял перед Стасовым знанием греческого искусства, эстетических трактатов и золотого сечения, и замечает, что все это прекрасно знал и В. В. Стасов.
Золотое сечение применялось художниками при композиционном построении картин. Был разработан упрощенный метод, когда плоскость картины делилась на 10 частей по вертикали и горизонтали. Линия золотого сечения намечалась в отношении 6 и 4 частей (рис. 12, а). Это не давало отношения 62:38, но давало близкое к нему 60:40. Практически этого было достаточно, чтобы ориентироваться и расположить главную фигуру или группу фигур в наиболее выгодном для этого месте картины.
Академик А. Н. Лаптев в статье «Некоторые вопросы композиции» так пишет о золотом сечении: «...Хочу упомянуть о давно известном, особенно в классическом искусстве, законе пропорций золотого сечения. В силу некоторого свойства нашего зрительного восприятия, эти пропорции (примерно 6 и 4) являются наиболее гармоническими и наиболее отвечающими общему понятию красоты, а потому и наиболее часто употребляемыми» 3.
Тот же результат получали и художники Мюнхенской академии делением картины на 5 частей. Золотая пропорция бралась в отношении 3 : 2, что одно и то же, так как сокращение 10; 6 и 4 в два раза дает 5; 3 и 2. Главная фигура картины или группа помещались на линии золотого сечения (рис. 12,б).
В картине Джованни Тьеполо «Пир Клеопатры» голова Клеопатры помещена художником в правой верхней точке на пересечении линий золотого деления по вертикали и горизонтали. Этим обеспечивается легчайшее восприятие глазом всей картины и ее зрительно-смыслового центра — центра внимания. Центр внимания может быть в правой части картины или в левой, в нижней или верхней. Эти четыре точки — наилучшие места для расположения главного предмета картины. Это связано "с устройством глаза, работой мозга и закономерностями зрительного восприятия, о чем будет сказано ниже.
Рис. 12. Деление картины: а — на 10 частей в Русской Академии художеств: б — на пять частей в Мюнхенской академии художеств
На одном из эскизов В. И. Сурикова к картине «Боярыня Морозова» хорошо видны деления правого вертикального края эскиза на 10 частей. Затем отсчитаны 6 делений снизу или 4 сверху и проведена линия золотого сечения, являющаяся предполагаемым горизонтом. Репродукция этого эскиза опубликована в книге С. Каплановой «От замысла и натуры к законченному произведению» 4. В ранней картине В. И. Сурикова «Милосердный самарянин» (1874) голова раненого помещена художником в правой нижней точке картины, ладонь правой руки самарянина — в левой верхней, где слуга льет в нее воду из кувшина. Обе эти точки находятся на диагонали. Устойчивость композиции придает и то, что голова самарянинанаходится на средней линии картины по вертикали (рис. 13).
Рис. 13. Диагонали, линии золотого сечения и смысловой центр картины В. И. Сурикова «Милосердный самарянин»
Недостаток деления картины на 10 или 5 частей заключен в том, что оно дает довольно приблизительные отрезки золотого сечения — 60, 40, 20 (табл. 1, ряд 1). Более точные значения пропорциональных величин золотого сечения (62 и 38) дают возможность образовать 5 величин золотого ряда (табл. 1, ряд 2), еще более точные исходные величины — 61,8; 38,2 или 61,803 и 38,196 дают возможность продолжить нахождение величин нисходящего ряда золотой пропорции до 9 значений или даже до бесконечности (табл. 1, ряды 3 и 4). В практической работе художника над эскизом или картиной достаточно величин 2-го и 3-го рядов.
Формат картины или монументальной росписи иногда задают. Но чаще всего художник сам определяет формат в соответствии со своим замыслом. Например, художник начинает разрабатывать эскиз пейзажа форматом 8x12 см. Эскиз имеет формат 8X12 см. Для нахождения линии золотого сечения по вертикали и отрезков золотого сечения по нисходящему ряду можно воспользоваться проведением вспомогательной линии длиной 10 см за пределами поля эскиза (рис. 14).
Рис. 14. Построение пейзажа по золотому сечению и нахождение отрезков золотой пропорции при помощи вспомогательной линии
На основании наблюдений, зарисовок, этюдов у автора возник замысел: показать на картине опушку леса. Внимание зрителя в первую очередь привлекает ель. Все остальные деревья дополняют пейзаж и образуют стройное гармоническое целое, легко воспринимаемое глазом. Такое гармоническое целое создается благодаря расположению ели на линии золотого сечения, а остальных деревьев или групп деревьев — в должном порядке. Подсказывают этот порядок (ритм) отрезки нисходящего ряда золотого сечения для данной картины, найденные при помощи вспомогательной линии и отложенные на пропорциональной линейке (для ширины и высоты). Дальнейшая работа над пейзажем пойдет «на глаз», по чувству. Пусть художественный вкус автора, опыт и талант поведут его к успешному завершению картины, к наилучшему выражению замысла. Как в архитектуре, так и в живописи геометрию привлекают для нужд пропорционирования, для создания предварительной схемы, композиционного каркаса, но не более.
| 1-й | 2-й | 3-й | 4-й |
| 100 | 100 | 100 | 100 |
| 60 | 62 | 61,8 | 61,803 |
| 40 | 38 | 38,2 | 38,196 |
| 20 | 24 | 23,6 | 23,606 |
| 14 | 14,5 | 14,589 | |
| 10 | 9,0 | 9,017 | |
| 5,5 | 5,572 | ||
| 3,5 | 3,444 | ||
| 2,0 | 2,128 | ||
| 1.5 | 1,315 0,813 0,502 0,311 и т. д. |
Таблица 1. величины нисходящего ряда золотой пропорции
Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой (рис. 15). Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471 — 1528) (рис. 15, а). Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получаем пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму (рис. 15, б). Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Проводим прямую произвольной длины, откладываем на ней отрезок m, ниже откладываем отрезок М. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов (рис. 15, в).
Если размер эскиза не задан, берут любые два значения шкалы как ширину или высоту эскиза и находят все остальные величины, как было показано ранее.
Рис. 15. Построение правильного пятиугольника (а), пентаграммы (б) и шкалы отрезков (в) золотой пропорции
Рис. 16. Построение: а — золотого треугольника: а:в=Ф, в=dd1 ; б — золотого прямоугольника: а:в=Ф
Из всего сказанного вытекает, что художник, желающий осуществить гармонический пропорциональный строй своей картины на основании золотого сечения, обязательно находит первые два отрезка золотой пропорции. Решению этой задачи способствует и золотой треугольник. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Для построения золотого треугольника не требуется даже транспортир (рис. 16, а). Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево От точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d\ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd\ откладываем на линию Ad\, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad\ и dd\ пользуются для построения золотого прямоугольника (рис. 16, б).
1 Крымов Н. П.—художник и педагог.—М., 1960.—С. 32.
2 Кеплер И. О шестиугольных снежинках. — М., 1982.— С. 17.
3 Лаптев А. М. Некоторые вопросы композиции//Вопросы изобразительного искусства. — М, 1954. — С. 66 — 67.
4 Капланова С. От замысла и натуры к законченному произведению. — М., 1981. — С. 17.